MathGhotic

Show that
(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)
Proof
(i) show that (A∪B)∩C⊂(A∩C) (B∩C)
take any x∈(A∪B)∩C
obvious x∈(A∪B)∩C
⇔x∈(A∪B) ∧ x∈C
⇔(x∈A ∨ x∈B) ∧ x∈C (distributif)
⇔x∈A ∧ x∈C ∨ x∈B ∧ x∈C
⇔x∈(A∩C) ∨ x∈ (B∩C)
⇔x∈(A∩C) ∪ (B∩C) so...

we get for all x∈(A∪B) ∩C then x∈(A∩C)∪ (B∩C)
it means
(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)

ii. Show that A ⊂ B if and only if A ∩ B = A
Proof:
1) Show that A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
We have A ⊂ B
It means ∀ x ∈ A,x ∈ B
Show that A ⊂ A ∩ B
Take any x ∈ A
Obvious x ∈ A ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (because ∀ x ∈ A,x ∈ B )
⇔ x ∈ A ∩ B
We get for all x ∈ A then x ∈ A ∩ B
It means A ⊂ A ∩ B....(1)
2) Show that A ∩ B ⊂ A
Take any x ∈ A ∩ B
Obvious x ∈ A ∩ B
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ A (simplifikasi)
We get for all x ∈ A ∩ B,x ∈ A
It means A ∩ B ⊂ A....(2)
From (1) and (2) we conclude that A ∩ B = A
So if A ⊂ B then A ∩ B = A

PBE
1. A ⊄ B
2. Tidak benar bahwa A ⊂ B
3. Tidak benar bahwa ∀ x ∈ A,x ∈ B
4. Tidak setiap x ∈ A berlaku x ∈ B
5. Ada x ∈ A yang bukan x ∈ B
6. Terdapat x ∈ A,x ∈ B
7. ∃ x ∈ A, x ∉ B
8. x ∈ A ∧ x ∉ B

Take any x ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Andaikan A ∩ B ⊄ A
maka ∃ x ∈ A ∩ B, akan tetapi x ⊄ A
maka x ∈ A ∩ B ∧ x ∈ A komplemen
⇔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ A komplemen (asosiatif)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A komplemen ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ( A ∩ A komplemen) ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ∅ ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ( ∅ ∩ B )
⇔ x ∈ ∅
Maka terjadi kontradiksi oleh sebab terdapat x ∈ A ∩ B dan x ∉ A berlaku x ∉ ∅
Jadi pengandaian ditolak
Jadi yang benar adalah A ∩ B ⊂ A

Read Users' Comments (1)komentar

1.)Let A , B set and x is an element . While :
a) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
b) x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∧ x ∉ B

Answer:
a) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
b) PBE :
1.) x ∉ A ∩ B
2.) Tidak benar bahwa x ∈ A ∩ B
3.) Tidak benar bahwa x ∈ A ∧ x ∈ B
4.) x ∉ A ∧ x ∉ B

2.) Show that :
a) A ∩ A = A
b) A ∩ B = B ∩ A
c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

Answer:
a) Proof
i) Show that A ∩ A ⊂A
Take any x ∈ A ∩ A
Obvious x ∈ A ∩ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A (idempoten) ....(i)
So A ∩ A ⊂A ⇔ x ∈ A
ii)Show that A ⊂A ∩ A
Take any x ∈ A ∩ A
Obvious x ∈ A ∩ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A (idempoten) ....(ii)
So A ∩ A ⊂A ⇔ x ∈ A
From that (i) and (ii) we conclude that A ∩ A = A
b) Proof
i) Show that A ∩ B ⊂ B ∩ A
Take any x ∈ A ∩ B
Obvious x ∈ A ∩ B
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ B ∩ A
So A ∩ B ⊂ B ∩ A (komutatif )...(i)
ii) Show that B ∩ A ⊂A ∩ B
Take any x ∈ B ∩ A
Obvious x ∈ B ∩ A
⇔ x ∈ B ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A ∩ B
So B ∩ A ⊂ A ∩ B (komutatif )...(ii)
From that (i) and (ii) we conclude that A ∩ B = B ∩ A
c) Proof
i) Show that (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C )
Take any x ∈ (A ∩ B) ∩ C
Obvious x ∈ (A ∩ B) ∩ C
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) x ∈ C
⇔ x ∈ A ∧ ( x ∈ B x ∈ C)
⇔ x ∈ A ∩ (B ∩ C )
So (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C ) (asosiatif)...(i)
ii) i) Show tha) A ∩ (B ∩ C )⊂ (A ∩ B) ∩ C
Take any x ∈ A ∩ (B ∩ C )
Obvious x ∈ A ∩ (B ∩ C )
⇔ x ∈ A ∧ ( x ∈ B x ∈ C)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B ) x ∈ C
⇔ x ∈ (A ∩ B ) ∩ C
So A ∩ (B ∩ C ) ⊂ (A ∩ B) ∩ C (asosiatif)...(ii)
From that (i) and (ii) we conclude that (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

Read Users' Comments (0)

Bukti Keabsahan Modus Ponens

((p ∧ →q) ∧ p) → q
≡ (( ~p ∨ q) ∧ p) → q (imp)
≡ ( ~p ∧ p) ∨ (q ∧ p) → q (dist)
≡ F ∨ (q ∧ p) → q (komp)
≡ (q ∧ p) → q (id)
≡ ~(q ∧ p) ∨ q (imp)
≡ ( ~q∨ ~p) ∨ q (DM)
≡ ( ~p∨ ~q) ∨ q (kom)
≡ ~p ∨ ( ~q ∨ q) (asso)
≡ ~p ∨ T (kom)
≡T(id)

Bukti Keabsahan Distruktif Silogisma (DS)

[ (p ∨ q) ∧ ~p ] ⇒ q
≡ ( p ∧ ~p) ∨ (q ∧ ~p) ⇒ q (dist)
≡ F ∨ ( q ∧ ~p ) ⇒ q (komp)
≡ ( q ∧ ~p ) ⇒ q (id)
≡ ~ (q ∧ ~p) ∨ q (imp)
≡ ( ~q ∨ p ) ∨ q (DM)
≡ (p ∨ ~q) ∨ q (kom)
≡ p ∨ (~q ∨ q) (asso)
≡ p ∨ (q ∨ ~q) (kom)
≡ p ∨ T (komp)
≡ T ( id)


Bukti Keabsahan Destructif Dilema (DD)

{[(p ⇒ q) ∧ (r⇒s)]} ∧ (~q ∨ ~s)} ⇒ (~p ∨ ~r)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s ) ∧ (~q ∨ ~s)] ⇒ (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ ( r ∧ ~s) ∨ (q ∧ s)] ∨ (~p ∨ r ) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧~s ) ∨ ( ~p ∨ ~r) (asso)
≡ [(p ∧ ~q ) ∨ (q ∧ s )] ∨ [( r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q ) ∨ q }∧{ (p ∧~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧~s) ∨(~p ∨ ~r)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q ) ∨ q }∧{ (p ∧~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧~s) ∨ ~r} ∨ ~p] (asso)
≡ [{(p ∨ q ) ∧(~q ∨ q)}∧{(p ∨ s} ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{(r ∨~r) ∧( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (dis)
≡ [{(p ∨ q ) ∧ T}∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{ T ∧ ( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (komp)
≡ [{(p ∨ q ) ∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (id)
≡ [{(p ∨ q ) ∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)∨~p] ∨ ( ~s ∨ ~r) (asso)
≡ [{(p ∨ q ) ∨ ~p} ∧{(p ∨ s) ∨ ~p} ∧ {(q ∨ s)∨~p}] ∨ ( ~s ∨ ~r) (dis)
≡ [{(p ∨ ~p ) ∨ q} ∧{(p ∨ ~p) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧(T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (komp)
≡ [(T ∧ T∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (id)
≡ (q ∨ s ∨~p) ∨ ( ~s ∨ ~r) (id)
≡ ( s ∨~s) ∨ ( ~p ∨ q ∨~r) (asso)
≡ T ∨ ( ~p ∨ q ∨~r) (komp)
≡ T (id)


Bukti Keabsahan Konstructif Dilema (KD)

p→q∧(r→s)
(p∨r)/∴(q∨s)

{[(p→q)∧(r→s)]∧(p∨r)}→(q∨s)
≡ [(p∨q)∧ (¬r∨s) ∧(p∨r)] →(q∨s) (imp)
≡ [(p∧¬q)∨ (r∧¬s)∨(¬p∧¬r)]∨ (q∨s) (imp)
≡ [(p∧¬q)∨ (¬p∧¬r)∨(r∧¬s)]∨ (q∨s) (asso)
≡ [(p∧¬q)∨ (¬p∧¬r)∨(r∧¬s)]∨ (q∨s)] (asso)
≡ [{(p∧¬q)∨ ¬p}∧{(p∧¬q)∨¬r}]∨[(r∧¬s)∨ (q∨s)] (dis)
≡ [{(p∧¬q)∨ ¬p}∧{(p∧¬q)∨¬r}]∨[{(r∧¬s)∨ s}∨q] (asso)
≡ [{(p∨¬p)∧(¬q∨ ¬p}∧{(p∨¬r)∧(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∧(¬s∨s)}∨ q] (dis)
≡ [{(T∧(¬q∨ ¬p)}∧{(p∨¬r)∧(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∧T}∨ q] (kom)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∧{(p∨¬r)∧{(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∨q] (id)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∧{(p∨¬r)∧{(¬q∨¬r)}∨ q]∨[(r∨s)] (asso)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∨q}∧{p∨¬r)∨ q}∧{(¬q∨¬r)∨ q}]∨[(r∨s)] (dis)
≡ [{(¬q∨ q)∨¬p}∧(p∨q∨¬r)∧{(¬q∨ q)∨¬r}]∨[(r∨s)] (asso)
≡ [(T∨ ¬p)∧(p∨q∨¬r)∧(T∨¬r)]∨[(r∨s)] (komp)
≡ [T∧(p∨q∨¬r)∧T] (id)
≡ (p∨q∨¬r)∨(r∨s) (id)
≡ (r∨¬r)∨(p∨q∨s) (asso)
≡ T∨(p∨q∨s) (komp)
≡ T (id)

Bukti Keabsahan Modus Tollens (MT)

((p→q) ∧ ~q) → ~p (imp)
≡ ((p→q) ∧ ~q) → ~p (dist)
≡ (~p∧~q) ∨ (q ∧ ~q) → ~p (id)
≡ (~p∧~q) ∨ F → ~p (komp)
≡ (~p∧~q) → ~p (imp)
≡ ~(~p∧~q) → ~p (DM)
≡ (p∨ q) ∨ ~p (asso)
≡ p∨ ( q∨ ~p) (kom)
≡ p∨ (~p∨ q) (asso)
≡ ( p∨~p ) ∨ q (kom)
≡ T∨ q (komp)
≡ T (id)

Read Users' Comments (0)

I. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini :

1. (p Λ q ) → r

2. p → (q Λ r )

3. ~p → (q Λ~r )

4. (pV~q )→(q Λ r )

5. (~q Λ~r )→ (~pVq )

6. (q V~r )→ (p Λr )

Jawaban :

1. Konvers : r→ (p Λ q )

Invers : (~p V~q )→ ~ r

Kontraposisi :~ r → (~p V~q )

Contoh dalam kalimat :

· Jika Indonesia adalah suatu negara dan Jakarta adalah ibukota maka pancasila adalah dasar negara.

Ø Konvers : Jika pancasila adalah dasar negara maka Indonesia adalah suatu negara dan Jakarta adalah Ibukota.

Ø Invers : Jika Indonesia bukan suatu negara atau Jakarta bukan Ibukota maka pancasila bukan dasar negara.

Ø Kontraposisi : Jika pancasila bukan dasar negara maka Indonesia bukan suatu negara atau Jakarta bukan Ibukota.

2. Konvers : (q Λ r ) → p

Invers : ~p → ~q V ~r

Kontraposisi : ~q V ~r → ~p

Contoh dalam kalimat :

· Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar dan masyarakat hidup makmur.

Ø Konvers : Jika pembangunan berjalan lancar dan masyarakat hidup makmur maka semua warga negara membayar pajak.

Ø Invers : Jika ada warga negara yang tidak membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar atau masyarakat tidak hidup makmur.

Ø Kontraposisi : Jika pembangunan tidak berjalan lancar atau masyarakat tidak hidup makmur maka ada warga negara yang tidak membayar pajak.

3. Konvers : (q Λ~r ) → ~p

Invers : p → ~q V r

Kontraposisi : ~q V r → p

Contoh dalam Kalimat :

· Jika Zahra tidak mengerjakan tugas maka Zahra memperoleh hukuman dan tidak mendapat nilai A.

Ø Konvers : Jika Zahra memperoleh hukuman dan tidak mendapat nilai A maka Zahra tidak mengerjakan tugas.

Ø Invers : Jika Zahra mengerjakan tugas maka Zahra tidak memperoleh hukuman atau mendapat nilai A.

Ø Kontraposisi : Jika Zahra tidak memperoleh hukuman atau mendapat nilai A maka Zahra mengerjakan tugas.

4. Konvers : (q Λ r ) → (pV~q )

Invers : (~pΛ q ) → (~q V ~r )

Kontraposisi : (~q V ~r ) → (~pΛ q )

Contoh dalam Kalimat :

· Jika adik tersenyum atau ibu tidak pergi maka ibu pergi dan kakak belajar

Ø Konvers : Jika Ibu pergi dan kakak belajar maka adik tersenyum atau Ibu tidak pergi.

Ø Invers : Jika Adik tidak tersenyum dan Ibu pergi maka Ibu tidak pergi atau kakak tidak belajar.

Ø Kontraposisi : Jika Ibu tidak pergi atau kakak tidak belajar maka Adik tidak tersenyum dan ibu pergi.

5. Konvers : (~pVq ) → (~q Λ~r )

Invers : (q V r ) → (pΛ~q )

Kontraposisi : (pΛ~q ) → (q V r )

Contoh dalam Kalimat :

· Jika hari tidak hujan dan cuaca tidak panas maka Rizal tidak pergi kuliah atau hari hujan

Ø Konvers : Jika Rizal tidak pergi kuliah atau hari hujan maka hari tidak hujan dan cuaca tidak panas.

Ø Invers : Jika hari hujan atau cuaca panas maka Rizal pergi kuliah dan hari tidak hujan.

Ø Kontraposisi : Jika Rizal pergi kuliah dan hari tidak hujan maka hari hujan atau cuaca panas.

6. Konvers : (p Λr ) → (q V~r )

Invers : (~q Λ r ) → (~p V ~r )

Kontraposisi : (~p V ~r ) → (~q Λ r )

Contoh dalam Kalimat :

· Jika Barkah rajin membantu ibu atau Barkah tidak malas maka ayah memberikannya motor dan Barkah malas.

Ø Konvers : Jika ayah akan memberikan Barkah motor dan Barkah malas maka Barkah rajin membantu ibu atau Barkah tidak malas.

Ø Invers : Jika Barkah tidak rajin membantu ibu dan Barkah malas maka ayah tidak memberikannya motor atau Barkah tidak malas.

Ø Kontraposisi : Jika Ayah tidak memberikan Barkah motor atau Barkah tidak malas maka Barkah tidak rajin membantu ibu dan Barkah malas.

II. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan berikut :

a. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.

v Konvers : Jika harga turun maka hasil produksi melimpah.

v Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya tidak turun.

v Kontraposisi : Jika harganya tidak turun maka hasil produksi tidak melimpah.

b. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.

v Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

v Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.

v Kontraposisi : Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.

c. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segiempat.

v Konvers : Jika ABCD segiempat maka ABCD bujur sangkar.

v Invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segiempat.

v Kontraposisi : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

d. Jika maka x>10 maka x²>100

v Konvers : Jika x²>100 maka x>10

v Invers : Jika x<=10 maka x²<= 100

v Kontraposisi : Jika x²<= 100 maka x<=10

e. Jika x² - 16 =0 maka x =4 atau x=-4

v Konvers : Jika x =4 atau x=-4 maka x² - 16 = 0

v Invers : Jika x² - 16 tidak sama dengan 0 maka x tidak sama dengan 4 dan x tidak sama dengan -4

v Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan 4 dan x tidak sama dengan -4 maka x² - 16 tidak sama dengan 0

f. Jika sin x = 90⁰-cos x maka x merupakan sudut lancip.

v Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90⁰-cos x .

v Invers : Jika sin x tidak sama dengan 90⁰-cos x maka x bukan merupakan sudut lancip .

v Kontraposisi : Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x tidak sama dengan 90⁰-cos x

g. Jika tan x= -1 maka x=135⁰ dan x=315⁰

v Konvers : Jika x=135⁰ dan x=315⁰ maka tan x= -1

v Invers : Jika tan x tidak sama dengan -1 maka x tidak sama dengan135⁰ atau x tidak sama dengan 315⁰

v Kontraposisi : Jika x tidak sama dengan135⁰ atau x tidak sama dengan 315⁰maka tan x tidak sama dengan -1 .

Read Users' Comments (2)