MathGhotic

Show that
(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)
Proof
(i) show that (A∪B)∩C⊂(A∩C) (B∩C)
take any x∈(A∪B)∩C
obvious x∈(A∪B)∩C
⇔x∈(A∪B) ∧ x∈C
⇔(x∈A ∨ x∈B) ∧ x∈C (distributif)
⇔x∈A ∧ x∈C ∨ x∈B ∧ x∈C
⇔x∈(A∩C) ∨ x∈ (B∩C)
⇔x∈(A∩C) ∪ (B∩C) so...

we get for all x∈(A∪B) ∩C then x∈(A∩C)∪ (B∩C)
it means
(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)

ii. Show that A ⊂ B if and only if A ∩ B = A
Proof:
1) Show that A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
We have A ⊂ B
It means ∀ x ∈ A,x ∈ B
Show that A ⊂ A ∩ B
Take any x ∈ A
Obvious x ∈ A ∧ x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (because ∀ x ∈ A,x ∈ B )
⇔ x ∈ A ∩ B
We get for all x ∈ A then x ∈ A ∩ B
It means A ⊂ A ∩ B....(1)
2) Show that A ∩ B ⊂ A
Take any x ∈ A ∩ B
Obvious x ∈ A ∩ B
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ A (simplifikasi)
We get for all x ∈ A ∩ B,x ∈ A
It means A ∩ B ⊂ A....(2)
From (1) and (2) we conclude that A ∩ B = A
So if A ⊂ B then A ∩ B = A

PBE
1. A ⊄ B
2. Tidak benar bahwa A ⊂ B
3. Tidak benar bahwa ∀ x ∈ A,x ∈ B
4. Tidak setiap x ∈ A berlaku x ∈ B
5. Ada x ∈ A yang bukan x ∈ B
6. Terdapat x ∈ A,x ∈ B
7. ∃ x ∈ A, x ∉ B
8. x ∈ A ∧ x ∉ B

Take any x ∈ A ∩ B
Show that A ∩ B ⊂ A
Andaikan A ∩ B ⊄ A
maka ∃ x ∈ A ∩ B, akan tetapi x ⊄ A
maka x ∈ A ∩ B ∧ x ∈ A komplemen
⇔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ A komplemen (asosiatif)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A komplemen ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ( A ∩ A komplemen) ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ∅ ∧ x ∈ B
⇔ x ∈ ( ∅ ∩ B )
⇔ x ∈ ∅
Maka terjadi kontradiksi oleh sebab terdapat x ∈ A ∩ B dan x ∉ A berlaku x ∉ ∅
Jadi pengandaian ditolak
Jadi yang benar adalah A ∩ B ⊂ A

Read Users' Comments (1)komentar