MathGhotic

Bukti Keabsahan Modus Ponens

((p ∧ →q) ∧ p) → q
≡ (( ~p ∨ q) ∧ p) → q (imp)
≡ ( ~p ∧ p) ∨ (q ∧ p) → q (dist)
≡ F ∨ (q ∧ p) → q (komp)
≡ (q ∧ p) → q (id)
≡ ~(q ∧ p) ∨ q (imp)
≡ ( ~q∨ ~p) ∨ q (DM)
≡ ( ~p∨ ~q) ∨ q (kom)
≡ ~p ∨ ( ~q ∨ q) (asso)
≡ ~p ∨ T (kom)
≡T(id)

Bukti Keabsahan Distruktif Silogisma (DS)

[ (p ∨ q) ∧ ~p ] ⇒ q
≡ ( p ∧ ~p) ∨ (q ∧ ~p) ⇒ q (dist)
≡ F ∨ ( q ∧ ~p ) ⇒ q (komp)
≡ ( q ∧ ~p ) ⇒ q (id)
≡ ~ (q ∧ ~p) ∨ q (imp)
≡ ( ~q ∨ p ) ∨ q (DM)
≡ (p ∨ ~q) ∨ q (kom)
≡ p ∨ (~q ∨ q) (asso)
≡ p ∨ (q ∨ ~q) (kom)
≡ p ∨ T (komp)
≡ T ( id)


Bukti Keabsahan Destructif Dilema (DD)

{[(p ⇒ q) ∧ (r⇒s)]} ∧ (~q ∨ ~s)} ⇒ (~p ∨ ~r)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s ) ∧ (~q ∨ ~s)] ⇒ (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ ( r ∧ ~s) ∨ (q ∧ s)] ∨ (~p ∨ r ) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧~s ) ∨ ( ~p ∨ ~r) (asso)
≡ [(p ∧ ~q ) ∨ (q ∧ s )] ∨ [( r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q ) ∨ q }∧{ (p ∧~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧~s) ∨(~p ∨ ~r)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q ) ∨ q }∧{ (p ∧~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧~s) ∨ ~r} ∨ ~p] (asso)
≡ [{(p ∨ q ) ∧(~q ∨ q)}∧{(p ∨ s} ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{(r ∨~r) ∧( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (dis)
≡ [{(p ∨ q ) ∧ T}∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{ T ∧ ( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (komp)
≡ [{(p ∨ q ) ∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [( ~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (id)
≡ [{(p ∨ q ) ∧{(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)∨~p] ∨ ( ~s ∨ ~r) (asso)
≡ [{(p ∨ q ) ∨ ~p} ∧{(p ∨ s) ∨ ~p} ∧ {(q ∨ s)∨~p}] ∨ ( ~s ∨ ~r) (dis)
≡ [{(p ∨ ~p ) ∨ q} ∧{(p ∨ ~p) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧(T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (komp)
≡ [(T ∧ T∧ (q ∨ s ∨~p)] ∨ ( ~s ∨ ~r) (id)
≡ (q ∨ s ∨~p) ∨ ( ~s ∨ ~r) (id)
≡ ( s ∨~s) ∨ ( ~p ∨ q ∨~r) (asso)
≡ T ∨ ( ~p ∨ q ∨~r) (komp)
≡ T (id)


Bukti Keabsahan Konstructif Dilema (KD)

p→q∧(r→s)
(p∨r)/∴(q∨s)

{[(p→q)∧(r→s)]∧(p∨r)}→(q∨s)
≡ [(p∨q)∧ (¬r∨s) ∧(p∨r)] →(q∨s) (imp)
≡ [(p∧¬q)∨ (r∧¬s)∨(¬p∧¬r)]∨ (q∨s) (imp)
≡ [(p∧¬q)∨ (¬p∧¬r)∨(r∧¬s)]∨ (q∨s) (asso)
≡ [(p∧¬q)∨ (¬p∧¬r)∨(r∧¬s)]∨ (q∨s)] (asso)
≡ [{(p∧¬q)∨ ¬p}∧{(p∧¬q)∨¬r}]∨[(r∧¬s)∨ (q∨s)] (dis)
≡ [{(p∧¬q)∨ ¬p}∧{(p∧¬q)∨¬r}]∨[{(r∧¬s)∨ s}∨q] (asso)
≡ [{(p∨¬p)∧(¬q∨ ¬p}∧{(p∨¬r)∧(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∧(¬s∨s)}∨ q] (dis)
≡ [{(T∧(¬q∨ ¬p)}∧{(p∨¬r)∧(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∧T}∨ q] (kom)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∧{(p∨¬r)∧{(¬q∨¬r)}]∨[{(r∨s)∨q] (id)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∧{(p∨¬r)∧{(¬q∨¬r)}∨ q]∨[(r∨s)] (asso)
≡ [{(¬q∨ ¬p)∨q}∧{p∨¬r)∨ q}∧{(¬q∨¬r)∨ q}]∨[(r∨s)] (dis)
≡ [{(¬q∨ q)∨¬p}∧(p∨q∨¬r)∧{(¬q∨ q)∨¬r}]∨[(r∨s)] (asso)
≡ [(T∨ ¬p)∧(p∨q∨¬r)∧(T∨¬r)]∨[(r∨s)] (komp)
≡ [T∧(p∨q∨¬r)∧T] (id)
≡ (p∨q∨¬r)∨(r∨s) (id)
≡ (r∨¬r)∨(p∨q∨s) (asso)
≡ T∨(p∨q∨s) (komp)
≡ T (id)

Bukti Keabsahan Modus Tollens (MT)

((p→q) ∧ ~q) → ~p (imp)
≡ ((p→q) ∧ ~q) → ~p (dist)
≡ (~p∧~q) ∨ (q ∧ ~q) → ~p (id)
≡ (~p∧~q) ∨ F → ~p (komp)
≡ (~p∧~q) → ~p (imp)
≡ ~(~p∧~q) → ~p (DM)
≡ (p∨ q) ∨ ~p (asso)
≡ p∨ ( q∨ ~p) (kom)
≡ p∨ (~p∨ q) (asso)
≡ ( p∨~p ) ∨ q (kom)
≡ T∨ q (komp)
≡ T (id)

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